🐋 Bölme Işlemi Yapmadan Kalan Bulma

SınıfEtkinlik ve Çalışma Kağıtları. 3. Sınıf Matematik Kalanlı Bölme İşlemi adlı dosyayı indir. 3. Sınıf Matematik Kalanlı Bölme İşlemi adlı dosya bu içerikte yer almaktadır. 3. Sınıf Matematik Kalanlı Bölme İşlemi adlı dosya 8-01-2021, 20:18 tarihinde admin tarafından eklenmiştir. 3. İlkokul Öğrencilerinin Bölme İşlemi ve Rasyonel Sayıları İlişkilendirme Süreçleri. January 2002; çocuklar ı n sembolik o larak verilen bölme problem lerinde kalan Özelliklebüyük sayılar verildiğinde EBOB bulma işlemi, asal çarpan yönteminde daha zor hale gelebilir. İki tam sayının en büyük ortak bölenini bulmak için yapılan ardışık bölme işlemine öklit algoritması denir. Ardışık bölme işlemine kalan sıfır oluncaya kadar devam edilir. Bölme İşlemi - Problemler 12 (Problem Kuralım - 2) Verilen çözümlere uygun problemler yazınız. 1. 4. 56 ÷ 8 = 7 kilogram 69 ÷ 3= 23 lira 2. 5. 44 ÷ 4 = 11 yaşında 63 ÷ 7= 9 ceviz 3. 6. 86 ÷ 2 = 43 ekmek 56 ÷ 4= 14 148 14 - 8= 6 şekeri kalmıştır. Bölme İşlemi - Problemler 13 (Problem Uzmanı 1) 1. Bir bölme işleminde Bunagöre kaç kutuya ihtiyaç olduğunu bulalım. Kalan Bölme işleminin doğruluğunu kontrol edelim. Bölen ile bölümün çarpımına kalanı eklediğimizde sonuç, bölünene eşit olmalıdır. Bölen × Bölüm = 15 × 44 = 660. 660 ’a, kalanı yani 14 ’ü ekleyelim. Bölünen = 660 + 14 = 674. Bölme işlemimiz Sınıf Bölüneni Bulma İşlemleri Kağıdı. 4. sınıf matematik dersi bölme işlemi etkinlikleri kağıdı. Bölme işlemi terimleri etkinlik kağıdı. Bir bölme işleminde verilmeyeni bulma etkinlikleri kağıdı indir. Bölme işleminde bölünen sayıyı bulmak için bölüm ve böleni çarparak varsa kalanı ekleriz. Bölümterimi, bölüm kısmına yazılır ve bölen polinomun her terimi ile çarpılarak bölünen polinomun altına yazılır ve çıkarma işlemi yapılır. Kalan 0 olduğuna göre bölme işlemi tamamlanmış olur. Burada kalan 0 olmasa en fazla sabit bir sayı olabilirdi. Örnek: P(x) = 8x 5 + 3x 4 + 2x 3 - 5x 2 + x - 16. Q(x) = x 2 + 1 C Programlama Dilinde Aritmetik İşlemler. 16-06-2020 04:45. 6508. Aritmetik işlemler programlamada yoğun şekilde kullanılır, bu işlemler mantıksal işlemlere birlikte programın temelini oluştururlar. Bu işlemler toplama işlemi '+', çıkarma işlemi '-', çarpma işlemi '*', bölme işlemi '/' ve mod işlemi '%' . Bu işlemler 5) Bu adıma bizi Windows 10 Yeni Basit Birim oluşturma Sihirbazı karşılıyor ileriye tıklayarak bu adımı geçiyoruz.; 6) Burada oluşturulacak yeni birimin boyutu soruluyor, boş alanın tamamını kullanacak iseniz (yani bir disk değilde iki üç oluşturacaksanız boş alanları ona göre paylaştırabilirsiniz.) herhangi bir değişiklik yapmadan ileri seçeneğine tıklayın. ÖRNEK : 3 + 5 işlemini sayı doğrusunda gösterelim. Doğal sayılarda toplama işleminde toplanan sayıların yerlerinin değişmesi sonucu değiştirmez. 12 + 5 = 17. 5 + 12 = 17. 0 (sıfır) ile Toplama İşlemi. Bir doğal sayı ile sıfırın toplamı, o doğal sayının kendisine eşittir. 28 + 0 = 28. Bölme İşleminde Bilinmeyen Terim Bölümü Bulma! Bölmenin terimlerinden, bölünen ve bölen terim biliniyor ise bölüm terimini bulmak kolaydır.Bölüneni ve kalanı belirli bir bölme işleminde ise kalan, bölenden daima küçük olacağından bölen belirlenmiş olur ve buradan yine kolayca bölüm terimine ulaşılır. 2 Sınıf Matematik Doğal Sayılarda Bölme İşlemi test çöz ve puan kazan. Bu konuda yeni nesil beceri temelli sorular, kazanım testleri ile konu kavrama testleri bulunmaktadır. ffIcOY. MisafirZiyaretçi 4 Aralık 2012 Mesaj 1 Bölme işlemi kuralları, bölme işleminde kalanın en büyük değeri nedir, bölme işleminde bölünen, bölen, bölüm ve kalan arasındaki bağlantı nasıl ifade edilir?Bir bölme işleminde kalan en çok kaç olabilir? EN İYİ CEVABI nötrino verdi Bölme İşleminde KalanBir bölme işleminde kalan, bölenden daima küçüktür! Herhangi bir bölme işleminde genelde kalanın en büyük değeri bölenin 1 eksiğidir! Bir bölme işleminde bölünen, bölen, bölüm ve kalan arasındaki bağlantı; Bölünen = Bölen*Bölüm + Kalan şeklinde ifade edilir! Bölme sorularının cevapları nedir? - Tekil Mesaj Son düzenleyen nötrino; 21 Ekim 2014 1147 Sebep İç başlık ve soru düzeni!! MisafirZiyaretçi 28 Ağustos 2014 Mesaj 2 Alıntı Misafir adlı kullanıcıdan alıntı Bir bölme işleminde kalan en çok kaç olabilir? Bölme işleminde tek bölen verildiyse mesela 7'yi örnek alalım. 7'yi 2 ile çarpıp bulduğumuz sonuçtan 1 çıkarıp en son bulduğumuz sonucun 7 ile farkını alıyoruz. Son düzenleyen nötrino; 21 Ekim 2014 1150 Sebep Alıntı soru ve cevap düzeni! Bu mesaj 'en iyi cevap' seçilmiştir. Bölme İşleminde KalanBir bölme işleminde kalan, bölenden daima küçüktür! Herhangi bir bölme işleminde genelde kalanın en büyük değeri bölenin 1 eksiğidir! Bir bölme işleminde bölünen, bölen, bölüm ve kalan arasındaki bağlantı;Bölünen = Bölen*Bölüm + Kalan şeklinde ifade edilir! Bölme sorularının cevapları nedir? - Tekil Mesaj MisafirZiyaretçi 9 Kasım 2017 Mesaj 4 Bölünen belli değilse kalanın en çok kaç olduğunu nasıl bulabiliriz peki??? Alıntı Bölünen belli değilse kalanın en çok kaç olduğunu nasıl bulabiliriz peki? Diğer terimleri verilen bir bölme işleminde bölünen, bölüm ile bölenin çarpılıp, ilgili çarpıma kalanın eklenmesi ile bulunuyordur. Bunun dışında yukarıdaki mesajımda da belirttiğim gibi;Herhangi bir bölme işleminde genelde kalanın en büyük değeri bölenin 1 eksiğidir! Bu yazımızda / operatorü kullanmadan bölme işlemini gerçekleştireceğiz. Bu işlemi gerçekleştirdiğimizde aslında “%” işareti yani mod operatörü kullanmadan kalanıda bulmuş Console uygulamasında bölme “/” operatörü kullanmadan for döngüsü kullanarak bölme işlemi yapan örnek; 1234567891011121314151617181920 static void Mainstring[] args { int sayi1, sayi2, sonuc,sayac; sayıyı girin>>"; sayi1= sayıyı girin>>"; sayi2 = sonuc = sayi1; forsayac=0;sayi2>"+sayac; } Kodalrımızı çalıştırdığımızda ekran görüntüsü; Şunlar da Hoşunuza Gidebilir eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar POLİNOMLAR, POLİNOM ÇEŞİTLERİ, POLİNOM ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar a0, a1, a2, ....an-1, an Î R ve n Î N olmak üzere, Px = an xn + an-1 xn-1 + .... + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir. 1. an xn, an-1 xn-1, ...., ak xk, ....., ayx, a0 ifadelerinin her birine Px polinomunun terimleri denir. 2. an, an-1, ...., ak, ...., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir. 3. Px polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [Px]=n şeklinde gösterilir. 4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir. 5. Px polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre, Px = anxn + an-1xn-1 + .... + a1x + a0 şeklinde veya Px polinomu terimlerin artan derecelerine göre, Px = a0 + a1x + a2x2 + .... + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır. 6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir. Örnek Px = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n Î N kaç olmalıdır? Çözüm 5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır. 3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 ³ 0 den n ³ 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, Px polinomu Px = 2x5-3/3 + x3-2 + 4 Px = 2x4 + x + 4 dür. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM Px, y = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir. Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür. der Px, y = der Px + der Py dir. Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır. Der Px, y = 4 + 3 = 7 dir. Örnek Px, y = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır? Çözüm 2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6 -3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8 x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5 -y5 teriminin derecesi 5 Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi Px, y polinomunun derecesidir. O halde, der Px, y = 8 dir. Örnek Px = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise P2= ?, P0 = ?, P1 = ? Çözüm P2 = 23 – + – 2 = 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur. P0 = 03 – + – 2 = - 2 bulunur. P1 = 13 – + – 2 = 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur. SIFIR POLİNOMU PX = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0 ise; Px = 0xn + 0xn-1 + ... + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir. Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir. Örnek Px = m + 3x2 + n – 5 x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim. Çözüm Px polinomunun sıfır polinomu olması için; m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ; m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır. SABİT POLİNOM Px = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = ... = a1 = 0 ve a0 ¹ 0 ise; Px polinomuna, sabit polinom denir. 0xn + 0xn-1 + ... + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir. x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır. Örnek Px = a – 4x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim. Çözüm Px = A – 4x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır. İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir. n. dereceden, Ax = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 ve Bx = bnxn + bn-1xn-1 + ... + b2x2 + b1x + b0 polinomları için; Ax = Bx Û an = bn, an-1 = bn-1, ... , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır. Örnek Ax = 5x3 + a + 1x2 + d, polinomları veriliyor. Ax = Bx olması için; a, b, c ve d yi bulalım. Çözüm POLİNOM FONKSİYONLARI P R R x Px = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir. P R R x Px = 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur. Örnek Px = x2 + 2x + 1 polinomu için PX-1 polinomunu bulunuz. Çözüm Px-1’i bulmak için Px’de x yerine x-1’i yazalım. Px-1 = x-12 + 2x-1 + 1 = x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2 Px-1 = x2 olarak bulunur. II Yol Önce Px = x2 + 2x + 1 = x+12 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım. Px-1 = x-1+12 = x2 bulunur. Örnek Px polinomu için, Px+2 = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre Px polinomunu bulunuz. Çözüm Px+2 = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde H = x + 2 Þ h –2 = x’i yerine yazalım. Ph – 2 + 2 = h – 23 – 2h – 22 + 4 Ph = h – 23 – 2h – 22 + 4 Px = x – 23 – 2x – 22 + 4 bulunur. POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI Px = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa P1 = an + an-1 + ... + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur. Px polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur. Örnek Px = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz. Çözüm Px de x = 1 i yerine yazalım. P1 = + – + 1-1 = 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur. POLINOMLARDA İŞLEMLER Polinomlarda Toplama İşlemi Ax = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 Bx = b3x3 + b2x2 + b1x + b0 Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir. Ax + Bx = a4 x4 + a3 + b3 x3 + a2 + b2 x2 + a1 + b1 x + a0 + b0 Örnek Px = x3 + 2x2 – 3x + 1, Qx = 3x2 + Ö3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz. Çözüm Px + Qx = x3 + 2+3 x2 + -3 + Ö3 x + 1 + 4 = x3 + 5x2 + Ö3-3 x + 5 dir. Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır. 1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır. 2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır. 3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır. 4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır. 5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır. İki Polinomun Farkı Px ve Qx polinomları için, Px – Qx = Px + -Qx tir. Px – Qx polinomuna, Px polinomu ile Qx polinomunun farkı denir. Örnek Çözüm Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur. Her Ax ve Bx polinomları için, Ax – Bx ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır. Polinomlarda Çarpma İşlemi Ax ve bx gibi iki polinomun çarpımı, Ax in her terimi Bx’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur. anxn ile bkxk teriminin çarpımı anxn . bkxk = an . bk xn+k dir. Yani 5x3 . -2x4 = 5 . -2 x3+4 = -10x7 Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz. Der [Ax . Bx ] = der Ax + der Bx Örnek Ax = 3x4 + 1, Bx = x2 + x Cx = x2 – x + 1 polinomları veriliyor. a Ax . Bx b Bx . Cx çarpımlarını bulunuz. Çözüm a Ax . Bx = 3x4 + 1 . x2 + x = 3x4 . x2 + 3x4 . x + x2 + x = 3x6 + 3x5 + x2 + x b Bx . Cx = x2 + x . x2 – x + 1 = x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1 = x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1 = x4 + x + 1 bulunur. Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır. 1. Kapalılık iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur. 2. Değişme özelliği vardır. 3. Birleşme özelliği vardır. 4. Çarpma işleminin birim etkisiz elemanı Px = 1 sabit polinomudur. 5. Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur. Yani Px = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir. 6. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. Ax . Bx + Cx = Ax . Bx + Ax . Cx Polinomlar Halkası Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R[x] polinomlar kümesi; 1. R[x],+ sistemi değişmeli gruptur. 2. R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. 3. R[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır. O halde R[x], + , . sistemi bir halkadır. Buna polinomlar halkası denir. Polinomlarda Bölme İşlemi Ax polinomunun Bx polinomuna bölümü Bölme işlemi yapılırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir. 1. Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır. 2. Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır. DerBx >>TIKLAYIN>>TIKLAYIN>>TIKLAYINYorumu HARİKA COK İŞİME YARADI COK TESEKKUR EDIYORUM ->Yazan yıldız. 24. **Yorum** ->Yorumu çok teşekkür odevım mukemmel olduuuu ->Yazan sevgi 24. **Yorum** ->Yorumu Adamsınız eywllh çok yardımcı oldu ->Yazan EMRe 23. **Yorum** ->Yorumu Konu toparlanmis hatta dikkat edilmesi gereken yerlerde gosterilmis ->Yazan 22. **Yorum** ->Yorumu Teşekkür ederim sayenizde ögrendim ALLAH razı olsun ->Yazan meltem 21. **Yorum** ->Yorumu süperr odevm çok gzel oldu tşkkürler. ->Yazan ilayda. 20. **Yorum** ->Yorumu 10 numara 5 yıldız oldu ödevim çok teşekkür ederim... ->Yazan ilayda. 19. **Yorum** ->Yorumu HELAL OLSUN SÜPERSİNİZ ÇOK TEŞEKKÜRLER MÜTHİŞ BİR ÖDEV OLDU ->Yazan UA BERKE 1905.. 18. **Yorum** ->Yorumu ÇOK TEŞEKKÜRLER SÜPERSİNİZ ->Yazan UABERKE1905. 17. **Yorum** ->Yorumu çok karışık geliyo yaa / ->Yazan ezgi. 16. **Yorum** ->Yorumu Ben sayısal okudugum halde polinomlarda biraz eksiğim vardı yani soru çeşitliliği gözümü biraz oldukça uzun bi diğer soruları çözerken sorun anlatımınız için. ->Yazan Rumeysa. 15. **Yorum** ->Yorumu admin en zor anımda sitelere bakıyım dedim ve çok zor bi sorunun sınav öncesi çözme yolunu anladım ellerin dert görmesin saolasın ->Yazan Mustafa. 14. **Yorum** ->Yorumu cok tesekkurler calıstım persembe gunu sınavım var ama hala konu tam olarak oturmadı kafama ->Yazan Büşra. 13. **Yorum** ->Yorumu Valla süper olmuş o gün derste yoktum burdan baktım gerçekten güzel anlatmışsınız ->Yazan Serife .. 12. **Yorum** ->Yorumu Cok tesekkur ederim donem odevim 100. SUPER SUPER SUPER ->Yazan Kenan. 11. **Yorum** ->Yorumu teşekkürler yaa gerçektennn D beni büyük bi dertten kurtardınızzz D ->Yazan Ayşenurrr. 10. **Yorum** ->Yorumu Oohhh bee dönem ödevi tam oldu süper ya ->Yazan ayşenur. ->Yazan gürkan güven ->Yorumu elinize salik site mütis olmus. ->Yazan yasin biyikli ->Yorumu sagul admin bana çok yardimci oldun. ->Yazan Sena ->Yorumu Dönem ödevim tamamdir, çok tesekkürleerr . ->Yazan Murat ->Yorumu admin ellerine saglik yardimci oldunuz yeteri kadar eyv.. >Yazan ömer faruk >Yorum admin gerçekten çok sagol siteyide güzel yapmissin eline saglik . >Yazan Alpay >Yorum Dönem ödevime yardimci oldunuz tesekkür ederim. . >Yazan Enes >Yorum Arkadaşlar Ben Soru Arıyordum Ama Yine De Güzel Olmuş.... >Yazan kadir >Yorum çok saolun böylece yıllık ödev tmm dirD. >Yazan Şenay >Yorum süper>>>YORUM YAZ<<< 3polinomllarda çarpma Dağılma özelliği kullanılarak işlem yapılır. örneğin Px=2x2+3 ve Qx=3x-4 ise px.Qx I bulalım. 2x2+3.3x-4=6x3-8x2+9x-12 bulunur. 4polinomlarda bölme örneğin Px= 2x4-3x+2 polinomunu Qx=x2+x+1 polinomuna böleleim. px/Qx de kalan –x+2 ve bölüm 2x2-2x dir. 5bölme işlemi yapmadan kalan bulma ax+a ile bölümünden kalanı bulma bXn+a ile bölümünden kalanı bulma cx-ax-b ile bölümünden elde edilen kalanı bulma örneğin px+2=3x3-ax+1 veriliyor. px polinomunun x-3 ilebölümünden kalan 8 ise a nın kaç olduğunu bulalım. px=x-3.Bx+8x-3=0 ise x=3 p3=8 oluyor. px+2 de ; 3x3-ax+1 de x=1 vererek p3 ü elede ederiz. X=1 için p1+2= KAYNAKYOUTUBE VE MİLLİ EĞİTİM DERS KİTABI Şeklinde katsayıların gerçek sayı, üslerin ise doğal sayı olduğu ifadelere bir değişkenli polinom denir. Örnek Çünkü x’in üssü doğal sayı olmalıdır. Örnek Çözüm Polinomun Özellikleri Polinomunun katsayıları Polinomun terimleri Kuvveti en büyük olan x’in derecesi, polinomun derecesidir ve der[Px] ile gösterilir. Bu x’in katsayısı da polinomun başkatsayısıdır. ise polinomun sabit terimidir. Örnek Polinomunun katsayıları 3, -2, 1, 5, 1 dir. Polinomunun derecesi 4 tür. Polinomun Baş Katsayısı 3 tür. Sabit Terimi 1 dir. Tek dereceli terimlerin katsayıları -2, 5 tir. Çift dereceli terimlerin katsayıları 3, 1, 1 dir. Not x=0 yazılarak polinomun sabit terimi, x=1 yazılarak, polinomun katsayılar toplamı bulunur. Px in sabit terimi P0, katsayılar toplamı da P1 dir. Örnek Polinomunun sabit terimi Kat sayılar toplamı Örnek Çözüm Not Polinomun çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı Polinomun tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı ise Örnek Not Polinomdaki değişkenlerin katsayıları 0 ise bu bir sabit polinomdur. Örnek Px=5 Sabit polinomun derecesi 0 dır. Sabit polinomun sabit değeri 0 ise bu bir sıfır polinomudur. Px=0 dır. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir. Örnek Çözüm Not Px=Qx ise bu iki polinomun derecesi eşittir ve aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir. Örnek Çözüm Polinomlarda Toplama Çıkarma Polinomlarda toplama çıkarma yapılırken, aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır. Örnek Not Dereceleri farklı olan iki polinomun toplamının veya farkının derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir. Örnek Çözüm Polinomlarda Çarpma İşlemi Px ile Qx çarpılırken, Px’in bütün terimleri Qx in bütün terimleri ile çarpılır. Ortaya çıkan terimlerin toplamı, çarpımın sonucunu verir. Örnek Çözüm Polinomların Dereceleri ile İlgili İşlemler der[Px]=a, der[Qx]=b ve a>b olsun. Örnek Çözüm Polinomlarda Bölme Örnek Çözüm Örnek Çözüm Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma Örnek Çözüm Örnek Çözüm Örnek Çözüm Örnek Çözüm Örnek Çözüm Not Pa=0 yapan a değerine polinomun sıfırı denir. Buna dayanarak, Px in içinde x-a çarpanı vardır, diyebiliriz. Örnek Çözüm Örnek Çözüm Örnek Çözüm POLİNOM KONU ANLATIMI n n 1 2 Px a x a x … a x a x a n n 1 2 1 0 Şeklinde katsayıların gerçek sayı, üslerin ise doğal sayı olduğu ifadelere bir değişkenli polinom denir. Örnek 2 3 1 Px 2x x ifadesi bir polinomdur. Px x 2x ifadesi bir polinom değildir. Çünkü x’in üssü doğal sayı olmalıdır. 4 1 2 1 Px x 3x 5 ifadesi bir polinom değildir. Çünkü x x demektir. Üs, doğal sayı olmalıydı. 5 Px x 5 ifadesi bir polinom değildir. x 5 Çünkü demektir. Üs, doğal sayı olmalıydı. x Örnek 8 5 m 2 m 3 Px x x x 5 ifadesi bir polinom ise m ? Çözüm m 2 x’in üssü doğal sayı olmalıdır. x den dolayı m 2 olmalıdır. 8 ifadesi de bir doğal sayı olmalıdır. m 3 Buna uygun 2’den büyük olan tek m değeri 5 tir. O halde m 5 tir. Polinomun Özellikleri n n 1 2 Px a x a x … a x a x a n n 1 2 1 0 Polinomunun katsayıları 0 1 2 n a , a , a , …, a dir. Polinomun terimleri 2 n 0 1 2 n a , a x, a x , …, a x dir. Kuvveti en büyük olan x’in derecesi, polinomun derecesidir ve der[Px] ile gösterilir. Bu x’in katsayısı da polinomun başkatsayısıdır. 0 a ise polinomun sabit terimidir. Örnek 4 3 2 Px 3x 2x x 5x 1 Polinomunun katsayıları 3, -2, 1, 5, 1 dir. Polinomunun derecesi 4 tür. Polinomun Baş Katsayısı 3 tür. Sabit Terimi 1 dir. Tek dereceli terimlerin katsayıları -2, 5 tir. Çift dereceli terimlerin katsayıları 3, 1, 1 dir. Not x=0 yazılarak polinomun sabit terimi, x=1 yazılarak, polinomun katsayılar toplamı bulunur. Px in sabit terimi P0, katsayılar toplamı da P1 dir. Örnek 2 Px 5x 3x 1 Polinomunun sabit terimi P0 1 1 dir. Kat sayılar toplamı 2 P1 1 5 3 1 3 tür. Örnek 5 Px x 2x 3 olduğuna göre, Px 3 ün katsayılar toplamı kaçtır? Çözüm 1 5 x 1 yazılır. Px 3 P4 ü bulmalıyız. P4 4 3 1024 8 3 1035 tir. POLİNOM KONU ANLATIMI Not Polinomun çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı P1 P 1 dir. 2 Polinomun tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı ise P1 P 1 dir. 2 Örnek 4 2 Px 3x 5x 3x 1 polinomunun Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı P1 P 1 6 12 9 dur. 2 2 Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı P1 P 1 6 12 3 tür. 2 2 Not Polinomdaki değişkenlerin katsayıları 0 ise bu bir sabit polinomdur. Örnek Px=5 Sabit polinomun derecesi 0 dır. Sabit polinomun sabit değeri 0 ise bu bir sıfır polinomudur. Px=0 dır. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir. 3 2 75 , , gibi sayısız örnekler yazılabildiğinden sıfır polinomunun derecesi belirlenemez. Örnek 5 3 Px m 2x n 2x 5 ifadesi sabit polinom ise, çarpımı kaçtır? Çözüm 5 3 0 0 Px m 2x n 2x 5 m 2 ve n 2 olmalıdır. Çarpımları 2. 2 4 tür. Not Px=Qx ise bu iki polinomun derecesi eşittir ve aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir. Örnek 2 c Px 3x a 1x b Qx 3x 5x 2 Px Qx ise a b c toplamı kaçtır? Çözüm 2 2 5 c 4 2 2 Px 3x a 1x b Qx 3x 5x 2 a b c 4 tür. Polinomlarda Toplama Çıkarma Polinomlarda toplama çıkarma yapılırken, aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır. Örnek 2 2 2 2 2 2 Px 4x 3x 1 Qx 3x 5x olduğuna göre, Px Qx 4 3x 3 5x 1 7x 2x 1 dir. Px Qx 4 3x 3 5x 1 x 8x 1 dir. Not Dereceleri farklı olan iki polinomun toplamının veya farkının derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir. Örnek Px bir polinom olmak üzere, Px 3 Px 2 2x 5 ise P5 kaçtır? POLİNOM KONU ANLATIMI Çözüm 2 5 1 Toplamları bir polinom olduğunaa göre, Px ax b şeklinde bir polinomdur. Px 3 Px 2 2x 5 ax 3 b ax 2 b 2x 5 ax 3a b ax 2a b 2x 5 2ax a 2b 2x 5 a 1 dir. a 2b 5 2b 6 b 3 tür. P x x 3 tür. P5 5 3 2 dir. Polinomlarda Çarpma İşlemi Px ile Qx çarpılırken, Px’in bütün terimleri Qx in bütün terimleri ile çarpılır. Ortaya çıkan terimlerin toplamı, çarpımın sonucunu verir. Örnek 2 3 Px 2x x Qx x 5 ise Px.Qx çarpımını bulunuz. Çözüm 2 3 5 4 2 Px.Qx 2x xx 5 2x x 10x 5x tir. Polinomların Dereceleri ile İlgili İşlemler der[Px]=a, der[Qx]=b ve a>b olsun. k k der[Px ] dır. der[Px Qx] a Px der a b dir. Qx der[Px der[P x] k .Qx] a b di .a dı . r r . Örnek 3 2 5 2 2 Px x 3x Qx x x 3 ise, der[Px.Qx] ? der[Px .Qx] ? der[Px Q2x] ? Qx der ? Px       Çözüm 2 derecesi 1 5 tir. der[Px] 3 tür. der[Qx] 5 tir. der[Px.Qx] 3 5 8 dir. der[Px .Qx] 5 6 5 11 dir. der[Px Q 2x ] 3 ve 5 ten büyük olan 5 tir. Qx der 5 3 2 dir. Px Polinomlarda Bölme Px Qx der[Px] der[Qx] tir. _ Bx der[Kx] der[Qx] tir. Qx 0 dır. Kx Px Qx.Bx Kx tir. Kx 0 ise Px, Qx’e tam bölünür. Örnek 3 2 Px 3x x 2x 5 polinomunu Qx x 1 poli￾nomuna bölelim. POLİNOM KONU ANLATIMI Çözüm 3 2 2 3 2 3 2 2 3x içinde kaç tane x var 3x 2 2x nin içinde kaç tane x var 2x 2 3x x 2x 5 x 1 _ 3x 3x 3x 2x 4 2x 2x 5 _ 2x 2x 4x 5 4x in içinde kaç tane x var 4 3 2 2 Bölünen Bölen Kalan Bölüm _ 4x 4 1 dir. Buna göre, 3x x 2x 5 x 13x 2x 4 1 dir. Örnek 2 Px x mx n polinomu x 1 ile bölündüğünde bölüm x 5 ve kalan 3 ise çarpımı kaçtır? Çözüm 2 2 m n Px x 1x 5 3 tür. x 6x 5 3 x 6x 8 48 dir. Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma b x için a burası 0 olur. Px polinomunun ax b ile bölümünden kalan b P dır. a Px ax b .Bx Kalan Örnek 2 Px x 5x 3 polinomunun x 2 ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm 2 İlk önce Bölen’i 0’a eşitliyoruz. x 2 0 x 2 dir. Px polinomunda x yerine 2 yazarak kalanı buluyoruz. P2 2 3 4 10 3 17 dir. Örnek 2 Px x 3x 1 polinomunun 3x 9 ile bölümün￾den kalan kaçtır? Çözüm 2 İlk önce Bölen’i 0’a eşitliyoruz. 3x 9 0 x 3 tür. Px polinomunda x yerine 3 yazarak kalanı bulu￾yoruz. P3 3 1 1 dir. Örnek 3 2 Px x 2x ax 5 polinomunu 2x 4 polino￾muna tam bölünebiliyorsa a kaçtır? Çözüm 3 2 İlk önce Bölen’i 0’a eşitliyoruz. 2x 4 0 x 2 dir. Kalan 0 ise, P 2 0 olmalıdır. 2 2. 2 a. 2 5 0 8 8 2a 5 0 2a 21 21 a dir. 2 POLİNOM KONU ANLATIMI Örnek 3 Px 2 x 2 dir. Px polinomununun x 3 ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm 3 Burayı 3 yapan x değeri 1 dir. 3 x 3 0 x 3 tür. Px te x 3 yazacağız. Yani P3’ü bulmalıyız. Px 2 x 2 P1 2 1 2 3 tür. Örnek 3 2 P2x 1 x 5x 2x 3 tür. P3x 5 polinomu￾nunun x 2 ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm 3 2 Burayı 1 yapan x değeri 0 dır. 3 x 2 0 x 2 dir. P3x 5 te x 2 yazacağız. Yani P 5 P1’i bulmalıyız. P2x 1 x 5x 2x 3 P0 1 0 3 3 tür. Not Pa=0 yapan a değerine polinomun sıfırı denir. Buna dayanarak, Px in içinde x-a çarpanı vardır, diyebiliriz. Örnek 5 Px x ax 2 polinomunun sıfırlarından biri 2 ise a kaçtır? Çözüm 5 P2 0 dır. 2 2a 2 0 32 2a 2 0 2a 34 a 17 dir. Örnek 2 Px polinomunun x 1 ile bölümünden kalan 2x 5 tir. Px’in x 1 ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm 2 2 0 dır. Px x 1.Bx 2x 5 şeklinde bir polinomdur. x 1 ile bölümünden kalanı bulmak için x 1 yazarız. P 1 1 1.Bx 2. 1 5 2 5 3 tür. Örnek 2 Px ve Qx polinomları arasında P3x 8 x x 2 Q2x 4 2 bağıntısı bulunmaktadır. Px’in x 1 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre, Qx 2 polinomunun sabit terimi kaçtır? Çözüm 3 2 3 3 3 Px’in x 1 ile bölümünden kalan 3 ise P1 3 tür. Qx 2 nin sabit terimi için x 0 yazarız. Q2 ? Verilen bağıntıda x 3 yazarsak, P1’i kullanabiliriz. P3x 8 x x 2 Q2x 4 2 P1 9 3 2 Q2 2 3 10 Q2 2 Q2 2 1 3 Q2 2 3 10 10 17 Q2 buluruz. 10

bölme işlemi yapmadan kalan bulma